shannon limit

August 25, 2011 Leave a comment

其实，根本用不着写这篇blog，只是因为本科的时候没学好，所以这个问题缠绕了我一下午(也算是报应吧)。现在有点理解了，希望对一些朋友有用。

Shannon 定理是这样定义的

$C=B\times\log_2(1+\frac S N)$

其中，C是channel capacity，单位bits/s

B是带宽，单位hertz

S是信号功率，单位watt

N是在B带宽下的噪声功率，单位watt。

现在，我们用数字信号表示shannon定理。

$C=B\times\log_2(1+\frac {E_b}{N_o}\frac C B)$

其中我们用了替换 $\frac {E_b}{N_o}\frac C B=\frac S N$ , E_b代表了energy/bit, N_o代表了noise power spectral density。因此 C=E_b*S，N=N_o*B。

可以得到

$\frac {E_b}{N_o}=\frac S N/\frac C B=(2^{\frac C B}-1)/(\frac C B)$

这个时候，我们可以看到，当C/B=1时， $\frac {E_b}{N_o}=1$ ，即0 dB。当C/B减小时（带宽增大）， $\frac {E_b}{N_o}$ 的值会随着C/B的减小而减小，那么极限 $\frac {E_b}{N_o}\geq\lim_{\frac C B\rightarrow0}(2^{\frac C B}-1)/(\frac C B)=\lim_{\frac C B\rightarrow0}\frac{2^{\frac C B}\ln2}1=\ln2$ 。因此我们求到了shannon limit，即ln2，-1.6dB。这是在带宽趋于无穷大的情况下得到的。这当然是一个理论值，是无法做到的。